Вся высшая математика. Учебник. Том 1. Гриф МО РФ

Полное исследование функций и построение их...

Ее расстояние от асимптоты будет характеризоваться длиной перпендикуляра . Согласно определению, . Но вычисляется довольно сложно, гораздо проще найти . Из треугольника следует, что , так как . Значит, . Итак, . Но выше было сказано, что , откуда следует, что . Вынесем в данном выражении за скобки: . Так как по условию , то . Здесь , следовательно, , откуда получаем: . Рис. 4.1 Зная , рассмотрим снова предел: . Он выполняется лишь при условии, что . Таким образом, найдены и , а с ними и уравнение наклонной асимптоты. Если , то получаем частный случай горизонтальной асимптоты . При невозможности найти хотя бы один предел (при вычислении или ) делается вывод, что наклонной асимптоты нет. Аналогично проводится исследование и при . 5. Общая схема исследования функций На основании приведенных результатов можно провести полное исследование функции с качественным построением ее графика. План этого исследования следующий: 1) находят область определения функции; 2) определяют точки разрывов функции и их характер; 3) находят корни функции; 4) определяют четность или нечетность функции; 5) проверяют функцию на периодичность; 6) вычисляют производную функции, находят ее критические точки, находят интервалы монотонности и экстремумы; 7) вычисляют вторую производную функции и по ней определяют интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба; 8) находят асимптоты функции; 9) по полученным данным строят качественный график исследуемой функции. Литература Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. – 400 с. Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с. Мироненко Е.С., Розанова С.А., ред., др, Розановой С.А., Кузнецова Т.А. Высшая математика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2009. – 168c. Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. Высшая математика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2007. – 200c. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика. Сталкер, 1997. – 560 с.